4) a) \( 8a^3 - b^3 + 4a^2 + 2ab + b^2 \)

Привет! Давай попробуем разложить это выражение на множители.

У нас есть:

\[ 8a^3 - b^3 + 4a^2 + 2ab + b^2 \]

Шаг 1: Ищем знакомые формулы

Сначала посмотрим на первые два члена: \( 8a^3 - b^3 \). Это похоже на разность кубов, где \( 8a^3 = (2a)^3 \) и \( b^3 = b^3 \).

Формула разности кубов: \( x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) \).

Применяя к \( 8a^3 - b^3 \), получаем:

\[ (2a - b)((2a)^2 + (2a)(b) + b^2) = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) \]

Шаг 2: Смотрим на оставшиеся члены

Теперь посмотрим на оставшиеся члены: \( + 4a^2 + 2ab + b^2 \).

Ого! Это как раз то, что у нас получилось во второй скобке при разложении разности кубов!

Шаг 3: Объединяем

Давай запишем всё выражение, подставив разложенную разность кубов:

\[ (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) + (4a^2 + 2ab + b^2) \]

Теперь мы видим, что \( (4a^2 + 2ab + b^2) \) — это общий множитель!

Вынесем его за скобки:

\[ (4a^2 + 2ab + b^2) [ (2a - b) + 1 ] \]

Упростим выражение во второй скобке:

\[ (4a^2 + 2ab + b^2) (2a - b + 1) \]

Ответ:

Разложенное на множители выражение:

\[ (4a^2 + 2ab + b^2)(2a - b + 1) \]