3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд (или секущих, если рассматривать точки А, В, С, D как точки пересечения хорд, исходящих из К), имеем:

\( AK \cdot KB = CK \cdot KD \)

Также, по свойству вписанного четырёхугольника, углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Треугольники \( \triangle KBC \) и \( \triangle KDA \) подобны.

\( \angle K \)

\( \angle KBC = \angle KAD \) (углы, опирающиеся на дугу CD)

\( \angle KCB = \angle KDA \) (углы, опирающиеся на дугу AB)

Следовательно, \( \triangle KBC \sim \triangle KDA \).

Из подобия следует:

\( \frac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{DA} \)

Мы знаем \( BK = 7 \), \( DK = 14 \), \( BC = 10 \). Нам нужно найти \( AD \).

Из подобия: \( \frac{KB}{KD} = \frac{BC}{DA} \)

\( \frac{7}{14} = \frac{10}{DA} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{10}{DA} \)

\( DA = 10 \times 2 = 20 \)

Ответ: 20