3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

Задание 3. Пересекающиеся хорды (или секущие)

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• Прямые AB и CD пересекаются в точке K.
• BK = 7.
• DK = 14.
• BC = 10.

Найти: AD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники △KBC и △KAD.
2. Угол ∠BKC = ∠AKD (вертикальные углы).
3. Так как ABCD вписан в окружность, то ∠KBC = ∠KAD (угол между хордой и касательной, или внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему противолежащему).
4. По двум углам, △KBC ~ △KAD.
5. Из подобия следует отношение сторон: \[ \frac{KB}{KA} = \frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD} \]
6. Мы знаем BK, DK, BC. Для применения пропорции нам нужно найти KA и KC.
7. KA = KB + AB = 7 + AB. KD = KC + CD = 14.
8. Из условия, что ABCD вписан, мы можем использовать теорему о секущих (или свойство пересекающихся хорд, если бы мы продлили AB и CD до пересечения внутри окружности).
9. Для секущих, выходящих из точки K: \( KB \cdot KA = KC \cdot KD \)
10. Однако, мы не знаем AB и CD.
11. Вернемся к подобию: \( \frac{KB}{KA} = \frac{BC}{AD} \) и \( \frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD} \).
12. Давайте предположим, что точки B и D лежат на одной прямой, а C и A на другой, и они пересекаются в точке K.
13. По теореме о пересекающихся секущих, выходящих из точки K: \( KB \cdot KA = KC \cdot KD \) — это верно, если K — внешняя точка.
14. В данном случае, A, B, C, D — вершины вписанного четырёхугольника.
15. Если K — точка пересечения прямых AB и CD, то K может быть как внешней, так и внутренней точкой. По условию, прямые AB и CD пересекаются, и мы имеем отрезки BK, DK.
16. Из рисунка и условий задачи, K является точкой пересечения продолжений сторон AB и CD.
17. Тогда у нас есть подобие треугольников △KBC и △KAD: \[ \frac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{AD} \]
18. Нам дано: BK = 7, DK = 14, BC = 10.
19. Из подобия: \[ \frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD} \]
20. Подставляем известные значения: \[ \frac{7}{14} = \frac{10}{AD} \]
21. \( \frac{1}{2} = \frac{10}{AD} \)
22. Отсюда: \[ AD = 10 \cdot 2 = 20 \]

Ответ:

AD = 20.