10. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и № соответственно, AB=54, AC=48, MN=40. Найдите АМ.

Решение:

По условию, прямая MN параллельна стороне AC. Это означает, что треугольник \( \triangle BMN \) подобен треугольнику \( \triangle BAC \).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

\( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \)

Нам дано:

\( AB = 54 \)

\( AC = 48 \)

\( MN = 40 \)

Нам нужно найти \( AM \).

Сначала найдём отношение, в котором MN делит стороны AB и BC:

\( \frac{MN}{AC} = \frac{40}{48} \)

Упростим дробь:

\( \frac{40}{48} = \frac{5 \times 8}{6 \times 8} = \frac{5}{6} \)

Теперь используем это отношение для сторон AB и BM:

\( \frac{BM}{BA} = \frac{5}{6} \)

\( BM = \frac{5}{6} \times BA \)

\( BM = \frac{5}{6} \times 54 \)

\( BM = 5 \times 9 = 45 \)

Нас просят найти \( AM \). Длина отрезка AM равна разности длин отрезков AB и BM:

\( AM = AB - BM \)

\( AM = 54 - 45 \)

\( AM = 9 \)

Ответ: 9