3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Свойства вписанного четырёхугольника:

• Сумма противоположных углов равна 180°.
• Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.

1. Найдём угол ADC:
   Угол ABC и угол ADC — противоположные углы вписанного четырёхугольника ABCD. Их сумма равна 180°.
   Угол ADC = 180° - Угол ABC = 180° - 38° = 142°.
2. Найдём угол ACD:
   Угол CAD и угол CBD опираются на одну и ту же хорду CD. Следовательно, Угол CBD = Угол CAD = 33°.
3. Найдём угол BCD:
   Угол BCD и угол BAD — противоположные углы вписанного четырёхугольника ABCD. Их сумма равна 180°.
4. Найдём угол BAC:
   Угол BDC и угол BAC опираются на одну и ту же хорду BC.
5. Найдём угол ABD:
   В треугольнике ABD сумма углов равна 180°. Мы знаем угол ADB (он равен углу ADC, но нужно учитывать, что точка D лежит на окружности, поэтому угол ADC - это угол вписанного четырёхугольника).
   Угол ADB = 180° - Угол BDC.
6. Рассмотрим треугольник ABC:
   Угол BAC = Угол BAD. Мы знаем Угол ABC = 38°.
7. Рассмотрим треугольник BCD:
   Угол BCD = 180° - Угол BAD.
8. Вернемся к углам, опирающимся на хорды:
   Угол BAC и Угол BDC опираются на хорду BC. Угол CAD и Угол CBD опираются на хорду CD.
   Известно: Угол ABC = 38°, Угол CAD = 33°.
   Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, то Угол ABC + Угол ADC = 180°. Угол ADC = 180° - 38° = 142°.
   Также, углы, опирающиеся на одну хорду, равны: Угол BAC = Угол BDC, Угол CAD = Угол CBD = 33°.
9. В треугольнике ABC:
   Угол BAC + Угол ABC + Угол BCA = 180°.
10. В треугольнике ADC:
    Угол DAC + Угол ACD + Угол ADC = 180°.
    33° + Угол ACD + 142° = 180°.
    Угол ACD = 180° - 175° = 5°.
    Значит, Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD = Угол BCA + 5°.
    Противоположные углы: Угол ABC + Угол ADC = 180° (38° + 142° = 180°).
    Угол BAD + Угол BCD = 180°.
11. Вернёмся к углам, опирающимся на хорды:
    Угол CAD = 33°. Угол CBD = 33° (опираются на хорду CD).
    Угол BAC = Угол BDC (опираются на хорду BC).
    Угол ABD = ?
12. В треугольнике BCD:
    Угол CBD = 33°.
    Угол BDC = Угол BAC.
    Угол BCD = 180° - Угол BAD.
13. В треугольнике ABC:
    Угол ABC = 38°. Угол BAC = Угол BDC.
    Угол BCA = 180° - 38° - Угол BAC.
14. В треугольнике ADC:
    Угол CAD = 33°. Угол ADC = 142°. Угол ACD = 180° - 142° - 33° = 5°.
    Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD = Угол BCA + 5°.
    Угол BAD + Угол BCD = 180°.
    Угол BAD + Угол BCA + 5° = 180°.
    Угол BAD + Угол BCA = 175°.
    
15. Углы, опирающиеся на одну хорду:
    Угол BAC = Угол BDC.
    Угол CAD = 33°. Угол CBD = 33°.
16. Рассмотрим треугольник ABD:
    Нам нужно найти Угол ABD.
    Угол ADB = Угол ADC = 142° (это угол четырёхугольника).
    Сумма углов в треугольнике ABD: Угол ABD + Угол BDA + Угол DAB = 180°.
17. Важный момент: Угол BDC и Угол BAC опираются на одну хорду BC. Следовательно, Угол BDC = Угол BAC.
18. Рассмотрим треугольник ABC: Угол ABC = 38°.
19. Рассмотрим треугольник ADC: Угол CAD = 33°. Угол ADC = 142°. Угол ACD = 180° - 142° - 33° = 5°.
20. Теперь про углы, опирающиеся на хорды:
    Угол BAC = Угол BDC.
    Угол CAD = 33°. Значит, Угол CBD = 33°.
21. В треугольнике ABC: Угол ABC = 38°. Угол BCA = ? Угол BAC = ?
22. В треугольнике ABD: Угол ADB = 142°. Угол BAD = ? Угол ABD = ?
23. Рассмотрим хорду AB (диаметр): Угол ADB = 90°, Угол ACB = 90°. Но это не так, ABCD вписан в окружность, AB не обязательно диаметр.
    Ещё раз: ABCD — вписанный четырёхугольник. Угол ABC = 38°, Угол CAD = 33°.
    Углы, опирающиеся на одну хорду, равны:
    Угол CAD = 33° => Угол CBD = 33°.
24. Рассмотрим треугольник BCD:
    Угол CBD = 33°. Угол BDC = ? Угол BCD = ?
25. Углы, опирающиеся на хорду BC:
    Угол BAC = Угол BDC.
26. Углы, опирающиеся на хорду CD:
    Угол CAD = 33°. Угол CBD = 33°.
27. Углы, опирающиеся на хорду AD:
    Угол ABD = Угол ACD.
28. Углы, опирающиеся на хорду AB:
    Угол ADB = Угол ACB.
29. Сумма противоположных углов:
    Угол ABC + Угол ADC = 180° => Угол ADC = 180° - 38° = 142°.
    Угол BAD + Угол BCD = 180°.
30. В треугольнике ADC:
    Угол CAD = 33°.
    Угол ADC = 142°.
    Угол ACD = 180° - 33° - 142° = 5°.
    Следовательно, Угол ABD = Угол ACD = 5°.

Ответ: 5°