4. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение:

Свойство описанного четырёхугольника: Сумма длин противоположных сторон равна периметру четырёхугольника. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d.

По условию, сумма двух противоположных сторон равна 12 см. Пусть это будут стороны a и c, то есть a + c = 12 см.

Следовательно, b + d = 12 см.

Периметр четырёхугольника P = (a + c) + (b + d) = 12 см + 12 см = 24 см.

Формула площади описанного четырёхугольника: Площадь четырёхугольника, описанного около окружности, равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

S = p * r

где:

• S — площадь четырёхугольника
• p — полупериметр четырёхугольника
• r — радиус вписанной окружности

Полупериметр p = P / 2 = 24 см / 2 = 12 см.

Радиус вписанной окружности r = 5 см.

Подставляем значения в формулу:

S = 12 см * 5 см

S = 60 см²

Ответ: 60 см²