3. Дана задача: «Периметр прямоугольника равен 28 см, а его диагональ равна 10 см. Чему равны стороны прямоугольника?» а) Составьте систему уравнений по условию задачи. б) Дайте ответ на вопрос задачи, выполнив необходимые вычисления.

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) см и \(y\) см.

а) Составим систему. Периметр равен 28 см, поэтому \(2(x+y)=28\), то есть \(x+y=14\). По теореме Пифагора для диагонали получаем \(x^2+y^2=10^2=100\).

\[\begin{cases}x+y=14,\\x^2+y^2=100.\end{cases}\]

б) Решим систему. Возведём сумму в квадрат: \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\). Тогда \(196=100+2xy\), откуда \(xy=48\).

Значит, стороны являются корнями уравнения \(t^2-14t+48=0\). Разложим на множители: \((t-6)(t-8)=0\). Следовательно, стороны равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.