3. Две стороны треугольника равны 5 см и 24 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

1. Нахождение третьей стороны (по теореме косинусов):

1. Обозначения: Пусть стороны треугольника a = 5 см, b = 24 см, а угол между ними C = 60°. Искомая сторона c.
2. Теорема косинусов:\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]
3. Подстановка значений:\[ c^2 = 5^2 + 24^2 - 2 \times 5 \times 24 \times \cos(60°) \]
4. Расчет:\[ c^2 = 25 + 576 - 2 \times 5 \times 24 \times \frac{1}{2} \]
   \[ c^2 = 25 + 576 - 120 \]
   \[ c^2 = 601 - 120 \]
   \[ c^2 = 481 \]
5. Нахождение c:\[ c = \sqrt{481} \text{ см} \]

2. Нахождение площади треугольника:

1. Формула площади: Площадь треугольника S можно найти по формуле:\[ S = \frac{1}{2}ab \sin(C) \]
2. Подстановка значений:\[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 24 \times \sin(60°) \]
3. Расчет:\[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
   \[ S = 5 \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
   \[ S = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
   \[ S = 30\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Третья сторона равна
\[ \sqrt{481} \] см, площадь равна
\[ 30\sqrt{3} \] см².