3. Известно, что многочлен P(x) даёт остатки 2 и 11 при делении на x − 1 и x − 4 соответственно. Найдите остаток от деления P(x) на x² − 5x + 4.

Разложим делитель: x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4). Остаток при делении на квадратный многочлен имеет вид R(x) = ax + b.

По теореме об остатке: R(1) = P(1) = 2 и R(4) = P(4) = 11. Поэтому a + b = 2, 4a + b = 11. Вычитая первое равенство из второго, получаем 3a = 9, откуда a = 3, b = −1.

Ответ: остаток равен 3x − 1.