6. Известно, что a + b + c = 0, a² + b² + c² = 1. Найдите a⁴ + b⁴ + c⁴.

Возведём равенство a + b + c = 0 в квадрат. Получаем a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0, значит ab + bc + ca = −1/2.

Также (ab + bc + ca)² = a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a + b + c). Последнее слагаемое равно нулю, поэтому a²b² + b²c² + c²a² = 1/4.

Тогда a⁴ + b⁴ + c⁴ = (a² + b² + c²)² − 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 1 − 1/2 = 1/2.

Ответ: 1/2.