3) Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение:

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию:

Первая высота \( h_1 = 4.5 \text{ м} = 450 \text{ см} \).

Коэффициент уменьшения \( q = \frac{1}{3} \).

Нужно найти номер прыжка \( n \), при котором высота \( h_n < 20 \text{ см} \).

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).

\( 450 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < 20 \)

\( \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < \frac{20}{450} \)

\( \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < \frac{2}{45} \)

Переведём степени:

• \( n=1 \): \( h_1 = 450 \text{ см} \)
• \( n=2 \): \( h_2 = 450 \cdot \frac{1}{3} = 150 \text{ см} \)
• \( n=3 \): \( h_3 = 150 \cdot \frac{1}{3} = 50 \text{ см} \)
• \( n=4 \): \( h_4 = 50 \cdot \frac{1}{3} = \frac{50}{3} \approx 16.67 \text{ см} \)

На 4-м прыжке высота стала меньше 20 см.

Ответ: 4.