3) Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию. Высота прыжков образует последовательность:

• 1-й прыжок: \( h_1 = 4.5 \) м = \( 450 \) см
• 2-й прыжок: \( h_2 = 4.5 : 3 = 1.5 \) м = \( 150 \) см
• 3-й прыжок: \( h_3 = 1.5 : 3 = 0.5 \) м = \( 50 \) см
• 4-й прыжок: \( h_4 = 0.5 : 3 \approx 0.167 \) м = \( 16.7 \) см

Найдём высоту прыжков по формуле геометрической прогрессии \( h_n = h_1 \times q^{n-1} \), где \( q = \frac{1}{3} \).

\( h_n = 450 \times \big(\frac{1}{3}\big)^{n-1} \) см

Нам нужно найти такой \( n \), при котором \( h_n < 20 \) см.

• \( n=1 \): \( h_1 = 450 \) см
• \( n=2 \): \( h_2 = 450 \times \frac{1}{3} = 150 \) см
• \( n=3 \): \( h_3 = 150 \times \frac{1}{3} = 50 \) см
• \( n=4 \): \( h_4 = 50 \times \frac{1}{3} = \frac{50}{3} \text{ см} \rightarrow \text{это примерно } 16.67 \) см

На 4-м прыжке высота станет меньше 20 см.

Ответ: при 4-м прыжке.