6. Натуральные числа a, b, c, d удовлетворяют равенству 3ᵃ + 3ᵇ + 3ᶜ = 3ᵈ. Докажите, что a = b = c = d − 1.

Пусть \(m=\min(a,b,c)\). Вынесем \(3^m\) за скобки. Если \(d\le m\), левая часть не меньше \(3\cdot3^m\), а правая не больше \(3^m\), что невозможно. Значит, \(d>m\).

После деления равенства на \(3^m\) получаем сумму трёх степеней числа 3, равную \(3^{d-m}\), то есть число, кратное 3. По модулю 3 слагаемые, у которых показатель равен \(m\), дают остаток 1; остальные слагаемые делятся на 3. Поэтому число слагаемых с показателем \(m\) должно делиться на 3. Таких слагаемых всего три, следовательно, все три показателя равны \(m\).

Тогда \(3\cdot3^m=3^d\), откуда \(d=m+1\). Таким образом, \(a=b=c=m=d-1\), что и требовалось доказать.