7. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали равны, ∠BAD = ∠CDA = 60°, AB = 4 и CD = 9. Найдите AD.

Обозначим \(AD=x\). По теореме косинусов в треугольнике \(BAD\): \(BD^2=4^2+x^2-2\cdot4x\cos60^\circ=x^2+16-4x\).

В треугольнике \(CDA\): \(AC^2=9^2+x^2-2\cdot9x\cos60^\circ=x^2+81-9x\).

Так как диагонали равны, \(BD^2=AC^2\). Поэтому \(x^2+16-4x=x^2+81-9x\), откуда \(5x=65\) и \(x=13\).

Ответ: \(AD=13\).