3. На рисунке AA₁ ⟂ α, AA₁ = a, ∠BAA₁ = α, AB = x, BA₁ = y. Найти x, y и площадь треугольника ABA₁.

Треугольник ABA₁ прямоугольный при A₁. Для угла α сторона AA₁ = a — прилежащий катет, AB = x — гипотенуза, BA₁ = y — противолежащий катет.

\(\cos\alpha=\frac{a}{x}\), поэтому \(x=\frac{a}{\cos\alpha}\).

\(\tan\alpha=\frac{y}{a}\), поэтому \(y=a\tan\alpha\).

\(S_{ABA₁}=\frac12 ay=\frac{a^2\tan\alpha}{2}\).

Ответ: x = a/cos α; y = a tan α; S_ABA₁ = a² tan α/2.