5. На рисунке AA₁ ⟂ α, AB = 12, ∠ABA₁ = 60°, A₁C = 6√6; точки B, A₁, C лежат на одной прямой, AC = x. Найти x и площадь треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике ABA₁ гипотенуза AB = 12:

\(AA₁=12\sin60°=6\sqrt3\), \(BA₁=12\cos60°=6\).

В прямоугольном треугольнике AA₁C:

\(x=AC=\sqrt{AA₁^2+A₁C^2}=\sqrt{(6\sqrt3)^2+(6\sqrt6)^2}=18\).

\(BC=BA₁+A₁C=6+6\sqrt6\). Высота к BC равна AA₁, поэтому \(S_{ABC}=\frac12(6+6\sqrt6)\cdot6\sqrt3=18\sqrt3+54\sqrt2\).

Ответ: x = 18; S_ABC = 18√3 + 54√2.