6. На рисунке AA₁ ⟂ α, AB = a, CA₁ = b, ∠ACA₁ = α; точки C, A₁, B лежат на одной прямой, A₁ находится между C и B, A₁B = x. Найти x и площадь треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике AA₁C угол при C равен α, а CA₁ = b. Поэтому \(AA₁=b\tan\alpha\).

Треугольник ABA₁ прямоугольный, его гипотенуза AB = a. По теореме Пифагора:

\(x=A₁B=\sqrt{a^2-AA₁^2}=\sqrt{a^2-b^2\tan^2\alpha}\).

\(BC=b+x\), а высота треугольника ABC к BC равна AA₁. Следовательно, \(S_{ABC}=\frac12(b+x)b\tan\alpha\).

Ответ: x = √(a² − b² tan² α); S_ABC = ½b(b + x)tan α.