7. На рисунке AA₁ ⟂ α, AA₁ = 8, ∠AA₁A? [угол при A между AA₁ и AC] = 60°, BC = 12, ∠BCA₁ = 90°; точки B, C, A₁ лежат в плоскости α, BA₁ = x. Найти x и площадь треугольника ABC.

Угол 60° на рисунке расположен при A между AA₁ и AC. В прямоугольном треугольнике AA₁C:

\(A₁C=AA₁\tan60°=8\sqrt3\).

Треугольник BCA₁ прямоугольный при C, поэтому

\(x=BA₁=\sqrt{BC^2+A₁C^2}=\sqrt{12^2+(8\sqrt3)^2}=4\sqrt{21}\).

Расстояние от A до прямой BC равно \(\sqrt{AA₁^2+A₁C^2}=\sqrt{8^2+(8\sqrt3)^2}=16\). Тогда \(S_{ABC}=\frac12\cdot12\cdot16=96\).

Ответ: x = 4√21; S_ABC = 96.