4. На рисунке AA₁ ⟂ α, AB = 17, AC = 10, BA₁ = 15, A₁C = x; точки B, A₁, C лежат на одной прямой. Найти x и площадь треугольника ABC.

Из прямоугольного треугольника ABA₁ найдём высоту AA₁:

\(AA₁=\sqrt{AB^2-BA₁^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8\).

В прямоугольном треугольнике AA₁C:

\(x=A₁C=\sqrt{AC^2-AA₁^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\).

Так как A₁ находится между B и C, \(BC=15+6=21\). Высота треугольника ABC к BC равна AA₁ = 8, следовательно, \(S_{ABC}=\frac12\cdot21\cdot8=84\).

Ответ: x = 6; S_ABC = 84.