3. Найдите экстремумы функции f(x) = x³ - 3x² - 9x

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и найти критические точки.

1. Найдём производную функции \( f(x) \):

\( f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x)' = 3x^2 - 6x - 9 \).

2. Приравняем производную к нулю:

\( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \).

Разделим уравнение на 3:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \).

3. Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \) и \( x_1 · x_2 = -3 \). Корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).

4. Определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума, используя вторую производную или знак первой производной.

Найдем вторую производную:

\( f''(x) = (3x^2 - 6x - 9)' = 6x - 6 \).

Проверим знак второй производной в критических точках:

• При \( x = -1 \): \( f''(-1) = 6(-1) - 6 = -6 - 6 = -12 \). Так как \( f''(-1) < 0 \), то в точке \( x = -1 \) — локальный максимум.
• При \( x = 3 \): \( f''(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 \). Так как \( f''(3) > 0 \), то в точке \( x = 3 \) — локальный минимум.

5. Найдем значения функции в точках экстремума:

• Максимум: \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3(1) + 9 = -1 - 3 + 9 = 5 \).
• Минимум: \( f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 3(9) - 27 = 27 - 27 - 27 = -27 \).

Ответ: Локальный максимум в точке \( x = -1 \), значение максимума равно 5. Локальный минимум в точке \( x = 3 \), значение минимума равно -27.