3. Найдите значение выражения \(\log_{6} 108 + \frac{\log_{6} 2}{\log_{6} 6}\).

Решение:

Вспомним свойства логарифмов:

1. \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)
2. \(\log_a a = 1\)
3. \(\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b\)

Сначала упростим второе слагаемое. Так как \(\log_{6} 6 = 1\), то:

\(\frac{\log_{6} 2}{\log_{6} 6} = \frac{\log_{6} 2}{1} = \log_{6} 2\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\(\log_{6} 108 + \log_{6} 2\)

Используя первое свойство логарифмов, объединим логарифмы:

\(\log_{6} (108 \cdot 2) = \log_{6} 216\)

Теперь нам нужно найти, в какую степень нужно возвести 6, чтобы получить 216. Известно, что \(6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216\).

Следовательно, \(\log_{6} 216 = 3\).

Ответ: 3.