6. Решите уравнение: cos2x + cos(x - π)+1=0.

Решение:

Используем тригонометрические тождества:

1. \(\cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x\)
2. \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\)

Подставим эти тождества в уравнение:

\[ (2\cos^2 x - 1) + (-\cos x) + 1 = 0 \]

\[ 2\cos^2 x - \cos x = 0 \]

Вынесем \(\cos x\) за скобки:

\[ \cos x (2\cos x - 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: \(\cos x = 0\)

Решения этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \(2\cos x - 1 = 0\)

\[ 2\cos x = 1 \]

\[ \cos x = \frac{1}{2} \]

Решения этого уравнения: \( x = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Таким образом, общие решения уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \] и \( x = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$, $$x = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$.