8. Даны две арифметической прогрессии {10;15;20;...} и {171;164;157;... }. Найдите все общие члены этих прогрессий.

Решение:

Первая прогрессия:

\(a_1 = 10\)

\(d_1 = 15 - 10 = 5\)

Общий член: \( a_n = a_1 + (n-1)d_1 = 10 + (n-1)5 = 10 + 5n - 5 = 5n + 5 \).

Вторая прогрессия:

\(b_1 = 171\)

\(d_2 = 164 - 171 = -7\)

Общий член: \( b_m = b_1 + (m-1)d_2 = 171 + (m-1)(-7) = 171 - 7m + 7 = 178 - 7m \).

Чтобы найти общие члены, нужно приравнять формулы общих членов:

\[ 5n + 5 = 178 - 7m \]

\[ 5n + 7m = 173 \]

Это линейное диофантово уравнение. Будем искать целочисленные решения для \( n \) и \( m \) (которые должны быть натуральными числами, т.е. \( n ³ 1 \), \( m ³ 1 \)).

Сначала найдем одно частное решение. Попробуем подставить значения \( n \) и посмотреть, будет ли \( m \) целым.

Если \( n=1 \), \( 5(1) + 7m = 173 \) \( \Rightarrow 7m = 168 \) \( \Rightarrow m = 24 \).

Мы нашли одно частное решение: \( n_0 = 1, m_0 = 24 \).

Общее решение уравнения:

\[ n = n_0 + \frac{d_2}{gcd(d_1, d_2)} t = 1 + \frac{-7}{gcd(5, -7)} t = 1 - 7t \]

\[ m = m_0 - \frac{d_1}{gcd(d_1, d_2)} t = 24 - \frac{5}{gcd(5, -7)} t = 24 - 5t \]

где \( t \) — целое число, а \( gcd(5, -7) = 1 \).

Теперь нужно учесть, что \( n ³ 1 \) и \( m ³ 1 \).

\[ 1 - 7t ³ 1 \] \( \Rightarrow -7t ³ 0 \) \( \Rightarrow t ≤ 0 \).

\[ 24 - 5t ³ 1 \] \( \Rightarrow -5t ³ -23 \) \( \Rightarrow 5t ≤ 23 \) \( \Rightarrow t ≤ 4.6 \).

Значит, \( t \) может принимать значения: \( 0, -1, -2, -3, -4 \).

Вычислим общие члены для каждого значения \( t \), используя формулу \( a_n = 5n + 5 \) (или \( b_m = 178 - 7m \)).

При \( t=0 \): \( n = 1 - 7(0) = 1 \), \( m = 24 - 5(0) = 24 \). \( a_1 = 5(1) + 5 = 10 \).

При \( t=-1 \): \( n = 1 - 7(-1) = 8 \), \( m = 24 - 5(-1) = 29 \). \( a_8 = 5(8) + 5 = 45 \).

При \( t=-2 \): \( n = 1 - 7(-2) = 15 \), \( m = 24 - 5(-2) = 34 \). \( a_{15} = 5(15) + 5 = 80 \).

При \( t=-3 \): \( n = 1 - 7(-3) = 22 \), \( m = 24 - 5(-3) = 39 \). \( a_{22} = 5(22) + 5 = 115 \).

При \( t=-4 \): \( n = 1 - 7(-4) = 29 \), \( m = 24 - 5(-4) = 44 \). \( a_{29} = 5(29) + 5 = 150 \).

Общие члены образуют арифметическую прогрессию с первым членом 10 и разностью, равной наименьшему общему кратному модулей разностей прогрессий: \( LCM(|d_1|, |d_2|) = LCM(5, 7) = 35 \).

Проверим: 10, 45 (10+35), 80 (45+35), 115 (80+35), 150 (115+35).

Ответ: 10; 45; 80; 115; 150.