4. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро - 4√13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Обозначим высоту пирамиды как \( H = 8 \) см, а боковое ребро как \( l = 4\sqrt{13} \) см.

Правильная треугольная пирамида имеет равносторонний треугольник в основании. Боковая поверхность пирамиды состоит из трёх одинаковых равнобедренных треугольников.

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 3 × S_{грани} \), где \( S_{грани} \) — площадь одной боковой грани.

Чтобы найти площадь боковой грани, нам нужно основание этой грани (сторона основания пирамиды, \( a \)) и апофему (высота боковой грани, \( h_a \)).

В правильной треугольной пирамиде апофема, высота пирамиды и радиус вписанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике равен \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).

В другом прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром \( l \), высотой пирамиды \( H \) и радиусом описанной окружности основания \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), имеем:

\( l^2 = H^2 + R^2 \)

\( (4\sqrt{13})^2 = 8^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 \)

\( 16 × 13 = 64 + \frac{a^2}{3} \)

\( 208 = 64 + \frac{a^2}{3} \)

\( \frac{a^2}{3} = 208 - 64 \)

\( \frac{a^2}{3} = 144 \)

\( a^2 = 144 × 3 = 432 \)

\( a = \sqrt{432} = \sqrt{144 × 3} = 12\sqrt{3} \) см (сторона основания).

Теперь найдём апофему \( h_a \). В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой \( h_a \), высотой пирамиды \( H \) и радиусом вписанной окружности \( r \):

\( h_a^2 = H^2 + r^2 \)

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 6 \) см.

\( h_a^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \)

\( h_a = \sqrt{100} = 10 \) см (апофема).

Площадь одной боковой грани:

\( S_{грани} = \frac{1}{2} × a × h_a = \frac{1}{2} × 12\sqrt{3} × 10 = 60\sqrt{3} \) см².

Площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = 3 × S_{грани} = 3 × 60\sqrt{3} = 180\sqrt{3} \) см².

Ответ: 180√3.