7. Решите неравенство: \(\log_{x^2+1} \frac{2 \cdot 4^x - 15 \cdot 2^x + 23}{4^x - 9 × 2^x + 14} \ge 0\).

Решение:

Пусть \( t = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^x)^2 = t^2 \). Неравенство примет вид:

\[ \log_{x^2+1} \frac{2t^2 - 15t + 23}{t^2 - 9t + 14} \ge 0 \]

Рассмотрим основание логарифма: \( x^2+1 \). Так как \( x^2 ³ 0 \), то \( x^2+1 ³ 1 \). Следовательно, основание логарифма всегда больше 1, и знак логарифма совпадает со знаком аргумента.

Неравенство эквивалентно:

\[ \frac{2t^2 - 15t + 23}{t^2 - 9t + 14} \ge 1 \]

Перенесём 1 в левую часть:

\[ \frac{2t^2 - 15t + 23}{t^2 - 9t + 14} - 1 \ge 0 \]

\[ \frac{2t^2 - 15t + 23 - (t^2 - 9t + 14)}{t^2 - 9t + 14} \ge 0 \]

\[ \frac{t^2 - 6t + 9}{t^2 - 9t + 14} \ge 0 \]

Числитель: \( t^2 - 6t + 9 = (t-3)^2 \). Он всегда \(³ 0 \).

Знаменатель: \( t^2 - 9t + 14 \). Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 - 9t + 14 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-9)^2 - 4 × 1 × 14 = 81 - 56 = 25 \]

\[ t_{1,2} = \frac{9 ± \sqrt{25}}{2} = \frac{9 ± 5}{2} \]

\[ t_1 = \frac{9 - 5}{2} = 2 \]

\[ t_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7 \]

Знаменатель \( t^2 - 9t + 14 = (t-2)(t-7) \).

Исходное неравенство теперь выглядит так:

\[ \frac{(t-3)^2}{(t-2)(t-7)} \ge 0 \]

Учитывая, что \((t-3)^2 ³ 0\), нам нужно, чтобы знаменатель был положительным, и \(t
e 3\).

\( (t-2)(t-7) > 0 \)

Это неравенство выполняется при \( t < 2 \) или \( t > 7 \).

Теперь вернёмся к \( t = 2^x \):

Случай 1: \( 2^x < 2 \)

\[ 2^x < 2^1 \]

Так как основание степени \( 2 > 1 \), то \( x < 1 \).

Случай 2: \( 2^x > 7 \)

\[ x > \log_2 7 \]

Также нужно учесть условие \( t
e 3 \), что означает \( 2^x
e 3 \), то есть \( x
e \log_2 3 \). Значение \(\log_2 3 \) находится между 1 и \(\log_2 7 \) (так как \( 2^1=2 < 3 < 7 \)). Поэтому \( x = \log_2 3 \) уже исключено из наших интервалов.

Объединяя полученные интервалы, получаем:

\[ x < 1 \text{ или } x > \log_2 7 \]

Ответ: $$x < 1$$ или $$x > \log_2 7$$.