3) Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Обозначим событие «выпали 4 и 6 в любом порядке» через A. Оба кубика выбираются с вероятностью \(\frac12\).

Для обычного кубика вероятность A равна \(\frac{2}{6^2}=\frac{1}{18}\): возможны последовательности (4, 6) и (6, 4).

У второго кубика вероятность каждого из чисел 4 и 6 равна \(\frac{2}{6}=\frac13\), поэтому вероятность A равна \(2\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac29\).

По формуле условной вероятности:

\(P(\text{первый}\mid A)=\frac{\frac12\cdot\frac{1}{18}}{\frac12\cdot\frac{1}{18}+\frac12\cdot\frac29}=\frac15.\)

Ответ: \(\frac15\).