6. Найдите угол \( ABC \) равнобедренной трапеции \( ABCD \), если диагональ \( AC \) образует с основанием \( AD \) и боковой стороной \( CD \) углы, равные \( 30^{\circ} \) и \( 80^{\circ} \) соответственно.

Решение:

1. В трапеции \( ABCD \) \( AD \parallel BC \). По условию \( \angle CAD = 30^{\circ} \) и \( \angle ACD = 80^{\circ} \).
2. В треугольнике \( ACD \) найдём угол \( \angle ADC \): \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 80^{\circ} = 70^{\circ} \).
3. Так как \( AD \parallel BC \) и \( CD \) — секущая, то сумма углов \( \angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ} \).
4. Следовательно, \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).
5. Трапеция равнобедренная, значит, углы при каждом основании равны. Углы при большем основании \( AD \) равны \( 70^{\circ} \), т.е. \( \angle DAB = \angle ADC = 70^{\circ} \).
6. Углы при меньшем основании \( BC \) равны, т.е. \( \angle ABC = \angle BCD \) — это неверно. Углы при меньшем основании равны \( 110^{\circ} \).
7. Таким образом, \( \angle ABC = 110^{\circ} \).

Ответ: 110^{\(\circ\)}.