3. Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии ровно 1 м, которые окрашены: а) в один цвет; б) в разные цвета.

Возьмём равносторонний треугольник со стороной 1 м. Его вершины попарно находятся на расстоянии 1 м.

1. а) Каждая из трёх вершин окрашена в один из двух цветов. По принципу Дирихле хотя бы две вершины имеют одинаковый цвет. Они и образуют искомую пару.
2. б) Рассмотрим ромб из двух равносторонних треугольников со стороной 1 м, склеенных по общей стороне. Вершины ромба соединены сторонами длины 1 м. Если среди трёх вершин первого треугольника есть точки обоих цветов, найдётся соседняя пара вершин разных цветов. Если же все три вершины одного цвета, то вершина второго треугольника, соединённая сторонами длины 1 м с концами общей стороны, либо имеет другой цвет и образует такую пару с ними, либо совпадает по цвету с ними; во втором случае рассмотрим вершину первого треугольника, не принадлежащую общей стороне: она также на расстоянии 1 м от обеих вершин общей стороны, и тот же выбор цвета гарантирует пару разных цветов среди соответствующих соседних вершин. Более просто: у вершины второго треугольника цвет либо отличается от цвета общей стороны — готово, либо совпадает; тогда можно построить равносторонний треугольник со стороной 1 м на другой стороне одной из его сторон и повторять этот шаг.

Для пункта б) утверждение в таком виде неверно: раскрасим плоскость по классам эквивалентности относительно сдвигов на векторы решётки треугольной мозаики, назначая каждой компоненте свой цвет так, чтобы все точки на расстоянии 1 м имели одинаковый цвет? Такой двухцветной раскраски без разноцветной пары на расстоянии 1 м не существует: граф единичных расстояний связен, поэтому любые две точки, соединённые цепочкой отрезков длины 1 м, должны иметь один цвет; в частности, любая точка плоскости соединяется такими цепочками с любой другой.

Действительно, граф единичных расстояний связен: для любых точек A и B можно выбрать точку C, находящуюся на расстоянии 1 м и от A, и от B, если AB ≤ 2 м. Для точек на большем расстоянии соединяем их цепочкой отрезков длины не более 2 м и применяем тот же приём. Значит, если концы каждого единичного отрезка одного цвета, то все точки плоскости одного цвета. Это противоречит наличию двух цветов.

Ответ: в пунктах а) и б) такие пары существуют.