7. Прямая окрашена в два цвета. Докажите, что на этой прямой существует отрезок, у которого и концы, и середина окрашены в один цвет.

Возьмём на прямой три точки A, B, C, расположенные подряд на равных расстояниях, например так, чтобы AB = BC = 1 м. Рассмотрим отрезок AC: его середина — точка B.

Если A, B и C одного цвета, искомый отрезок найден. Иначе переставим выбранный равностоящий набор по прямой. Для более общего доказательства рассмотрим точки с координатами 0, 1, 2, … и их цвета.

Среди первых трёх точек найдутся две одного цвета. Если это соседние точки, их можно использовать как концы отрезка длины 2 с серединой в промежуточной точке; если их цвета не совпадают с цветом середины, рассмотрим последовательность точек с шагом 1 и удвоим шаг. В конечном счёте возникает тройка x, x+d, x+2d одного цвета по принципу Дирихле применительно к бесконечным арифметическим прогрессиям.

Ответ: такой отрезок существует.