3. Постройте график функции y = x|x| − |x| − 4x и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим знак \(x\):

\(y=\begin{cases}-x^2-3x,&x<0,\\x^2-5x,&x\ge0.\end{cases}\)

Левая часть — ветви параболы, направленные вниз, с вершиной \((- frac32; frac94)\). Правая часть — парабола, направленная вверх, с вершиной \(( frac52;- \frac{25}{4})\). Обе части проходят через начало координат.

При \(m=- \frac{25}{4}\) горизонтальная прямая касается правой параболы в её вершине и пересекает левую ветвь ещё в одной точке: всего две. При \(m= frac94\) она касается левой параболы в её вершине и пересекает правую ветвь один раз: также две. На остальных уровнях число пересечений не равно двум.

Ответ: \(m=- \frac{25}{4}\) или \(m= frac94\).