5. Постройте график функции y = x² − |6x + 1| и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Точка смены знака выражения под модулем: \(6x+1=0\), откуда \(x=- frac16\). Следовательно,

\(y=\begin{cases}x^2+6x+1=(x+3)^2-8,&x<- frac16,\\x^2-6x-1=(x-3)^2-10,&x\ge- frac16.\end{cases}\)

Левая часть имеет вершину \((-3;-8)\), правая — \((3;-10)\). В точке соединения график проходит через \((- frac16; frac1{36})\).

При \(m=-8\) горизонтальная прямая касается левой параболы в вершине и пересекает правую часть в двух точках: всего три. При \(m= frac1{36}\) она пересекает левую часть в одной точке, а правую — в двух, также всего три. На остальных уровнях число пересечений отличается от трёх.

Ответ: \(m=-8\) или \(m= frac1{36}\).