4. Постройте график функции y = |x|(x + 2) − 3x и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль при \(x<0\) и \(x\ge0\):

\(y=\begin{cases}-x^2-5x,&x<0,\\x^2-x,&x\ge0.\end{cases}\)

Левая парабола направлена вниз и имеет вершину \((- frac52; \frac{25}{4})\). Правая парабола направлена вверх и имеет вершину \(( frac12;- frac14)\). Части соединяются в точке \((0;0)\).

На уровне \(m=- frac14\) прямая касается вершины правой параболы и пересекает левую часть один раз. На уровне \(m= \frac{25}{4}\) она касается вершины левой параболы и пересекает правую ветвь один раз. В обоих случаях получается ровно две точки.

Ответ: \(m=- frac14\) или \(m= \frac{25}{4}\).