3. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Пусть \( P_1 \) — вероятность уничтожения цели при первом выстреле, \( P_k \) — вероятность уничтожения цели при k-м выстреле.

Дано: \( P_1 = 0.4 \), \( P_{k, \text{доп}} = 0.6 \) (вероятность уничтожения при каждом последующем выстреле).

Вероятность НЕ уничтожения цели при первом выстреле: \( 1 - P_1 = 1 - 0.4 = 0.6 \).

Вероятность НЕ уничтожения цели при каждом последующем выстреле: \( 1 - P_{k, \text{доп}} = 1 - 0.6 = 0.4 \).

Вероятность уничтожения цели не менее чем за \( n \) выстрелов:

\( P_n = 1 - (\text{вероятность не уничтожить цель за n выстрелов}) \).

Вероятность не уничтожить цель за \( n \) выстрелов:

\( P(\text{не ун. за } n) = (1 - P_1) \times (1 - P_{k, \text{доп}})^{n-1} \) (при \( n > 1 \)).

Нам нужно, чтобы \( P_n ≥ 0.98 \), значит \( 1 - P(\text{не ун. за } n) ≥ 0.98 \).

\( P(\text{не ун. за } n) ≥ 1 - 0.98 = 0.02 \).

Подставим значения:

\( 0.6 \times (0.4)^{n-1} ≥ 0.02 \).

\( (0.4)^{n-1} ≥ \frac{0.02}{0.6} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \).

Проверим значения \( n \):

• \( n = 1 \): \( P_1 = 0.4 \) (меньше 0.98)
• \( n = 2 \): \( P_2 = 1 - (0.6 \times 0.4) = 1 - 0.24 = 0.76 \) (меньше 0.98)
• \( n = 3 \): \( P_3 = 1 - (0.6 \times 0.4^2) = 1 - (0.6 \times 0.16) = 1 - 0.096 = 0.904 \) (меньше 0.98)
• \( n = 4 \): \( P_4 = 1 - (0.6 \times 0.4^3) = 1 - (0.6 \times 0.064) = 1 - 0.0384 = 0.9616 \) (меньше 0.98)
• \( n = 5 \): \( P_5 = 1 - (0.6 \times 0.4^4) = 1 - (0.6 \times 0.0256) = 1 - 0.01536 = 0.98464 \) (больше 0.98)

Следовательно, потребуется 5 выстрелов.

Ответ: 5