3. При каких значениях параметра a уравнение x⁴ − 2ax² + a² − 1 = 0 имеет: а) ровно два различных действительных корня; б) четыре различных действительных корня? Дайте краткий ответ с пояснением.

Положим y = x², где y ≥ 0. Тогда y² − 2ay + a² − 1 = 0, откуда (y − a)² = 1. Следовательно, y = a − 1 или y = a + 1.

Каждое положительное значение y даёт два корня x = ±√y; отрицательное не даёт действительных корней, а y = 0 даёт один корень x = 0.

а) Ровно два различных корня получаются, когда одно значение y положительно, а другое отрицательно: a − 1 < 0 и a + 1 > 0. Значит, −1 < a < 1.

б) Четыре различных корня получаются, когда оба значения y положительны: a − 1 > 0, то есть a > 1.

Ответ: а) −1 < a < 1; б) a > 1.