4. Дополнительное (на 3–5 минут): докажите, что уравнение вида x⁴ + px² + q = 0 может иметь 0, 2 или 4 действительных корня, но не может иметь ровно 3 действительных корня. Приведите по одному примеру для случаев 0 и 4 корней.

Утверждение о невозможности ровно трёх действительных корней неверно: уравнение x⁴ − x² = 0 имеет ровно три различных действительных корня.

Действительно, x⁴ − x² = x²(x² − 1) = x²(x − 1)(x + 1), поэтому корни: −1, 0 и 1. Таким образом, требуемое доказательство невозможно.

Примеры для указанного числа корней:

• 0 корней: x⁴ + 1 = 0, поскольку x⁴ ≥ 0 и потому x⁴ + 1 > 0 при любом действительном x.
• 4 корня: x⁴ − 5x² + 4 = 0. Разложение (x² − 1)(x² − 4) = 0 даёт корни −2, −1, 1, 2.

Исправление: уравнение такого вида может иметь и ровно 3 различных действительных корня.