3. Про число, у которого 30 делителей, известно, что оно делится на 30. Чему оно может быть равно?

Если число делится на 30, в его разложении обязательно есть простые множители 2, 3 и 5. Для трёх простых множителей число делителей равно произведению трёх чисел, на единицу больших показателей степеней. Разложение \(30=5\cdot3\cdot2\) показывает, что показатели должны быть 4, 2 и 1 в некотором порядке.

Значит, подходят все числа вида \(2^a\cdot3^b\cdot5^c\), где показатели \(a,b,c\) — перестановка чисел 4, 2 и 1. Получаем:

\(2^4\cdot3^2\cdot5=720\); \(2^4\cdot3\cdot5^2=1200\); \(2^2\cdot3^4\cdot5=1620\); \(2\cdot3^4\cdot5^2=4050\); \(2^2\cdot3\cdot5^4=7500\); \(2\cdot3^2\cdot5^4=11250\).

У каждого из этих чисел количество делителей равно \((4+1)(2+1)(1+1)=30\).