3. Решить уравнение: х⁴- 5x²-6=0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 5y - 6 = 0 \)

1. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \). Здесь \( a=1 \), \( b=-5 \), \( c=-6 \).
2. \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. \( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \).
4. Найдём корни \( y \): \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]
5. Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \):
6. 1) \( x^2 = 6 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm \sqrt{6} \)
7. 2) \( x^2 = -1 \) — это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x = \sqrt{6}, x = -\sqrt{6} \).