7. Решить задачу (с помощью системы уравнений). Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Определите, с какой скоростью шла каждая группа, если известно, что на прохождение всего пути одной из них потребовалось на 54 мин больше, чем другой.

Решение:

Обозначим:

• \( v_1 \) — скорость первой группы туристов (в км/ч).
• \( v_2 \) — скорость второй группы туристов (в км/ч).
• \( t_1 \) — время, которое понадобилось первой группе, чтобы пройти весь путь \( 18 \) км (в часах).
• \( t_2 \) — время, которое понадобилось второй группе, чтобы пройти весь путь \( 18 \) км (в часах).

Из условия задачи составим систему уравнений:

1. Когда группы шли навстречу друг другу, они встретились через 2 часа. Это означает, что сумма расстояний, пройденных каждой группой за 2 часа, равна общему расстоянию между пунктами:

\( 2v_1 + 2v_2 = 18 \)

Разделим обе части уравнения на 2:

\( v_1 + v_2 = 9 \) (Уравнение 1)

2. Известно, что на прохождение всего пути (18 км) одной группе потребовалось на 54 минуты больше, чем другой. Переведем 54 минуты в часы: \( 54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч} \).

Время = Расстояние / Скорость. Следовательно:

\( t_1 = \frac{18}{v_1} \)

\( t_2 = \frac{18}{v_2} \)

Предположим, что первая группа шла медленнее (\( t_1 > t_2 \)), тогда:

\( t_1 = t_2 + 0.9 \)

\( \frac{18}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0.9 \) (Уравнение 2)

Теперь решим полученную систему уравнений:

\( \begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ \frac{18}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0.9 \end{cases} \)

1. Из Уравнения 1 выразим \( v_1 \): \( v_1 = 9 - v_2 \).
2. Подставим это в Уравнение 2:
3. \( \frac{18}{9 - v_2} = \frac{18}{v_2} + 0.9 \)
4. Приведем к общему знаменателю или перенесем члены уравнения:
5. \( \frac{18}{9 - v_2} - \frac{18}{v_2} = 0.9 \)
6. \( \frac{18v_2 - 18(9 - v_2)}{(9 - v_2)v_2} = 0.9 \)
7. \( \frac{18v_2 - 162 + 18v_2}{9v_2 - v_2^2} = 0.9 \)
8. \( \frac{36v_2 - 162}{9v_2 - v_2^2} = 0.9 \)
9. \( 36v_2 - 162 = 0.9 (9v_2 - v_2^2) \)
10. \( 36v_2 - 162 = 8.1v_2 - 0.9v_2^2 \)
11. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
12. \( 0.9v_2^2 + 36v_2 - 8.1v_2 - 162 = 0 \)
13. \( 0.9v_2^2 + 27.9v_2 - 162 = 0 \)
14. Умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
15. \( 9v_2^2 + 279v_2 - 1620 = 0 \)
16. Разделим на 9:
17. \( v_2^2 + 31v_2 - 180 = 0 \)
18. Найдем дискриминант: \( D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681 \).
19. \( \sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41 \).
20. Найдем корни \( v_2 \): \[ v_{2,1} = \frac{-31 + 41}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ v_{2,2} = \frac{-31 - 41}{2 \cdot 1} = \frac{-72}{2} = -36 \]
21. Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_2 = 5 \) км/ч.
22. Теперь найдем \( v_1 \) из Уравнения 1: \( v_1 = 9 - v_2 = 9 - 5 = 4 \) км/ч.
23. Проверим, соответствует ли это условию \( t_1 = t_2 + 0.9 \):
24. \( t_1 = \frac{18}{4} = 4.5 \) часа.
25. \( t_2 = \frac{18}{5} = 3.6 \) часа.
26. \( 4.5 - 3.6 = 0.9 \) часа, что равно 54 минутам. Условие выполняется.

Ответ: Скорость первой группы туристов — 4 км/ч, скорость второй группы туристов — 5 км/ч.