6. Построить график функции у = х²-6x + 8. Найти по графику промежутки возрастания и убывания функции.

Решение:

Построим график квадратичной функции \( y = x^2 - 6x + 8 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) равен \( 1 \) (положительный).

1. Найдем вершину параболы. Координата \( x_0 \) вершины находится по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a=1 \), \( b=-6 \).
2. \( x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
3. Найдем координату \( y_0 \) вершины, подставив \( x_0 = 3 \) в уравнение функции: \( y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \).
4. Вершина параболы находится в точке \( (3; -1) \).
5. Найдем точки пересечения с осью абсцисс (нули функции), решив уравнение \( x^2 - 6x + 8 = 0 \): \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \), \( \sqrt{D} = 2 \).
6. \( x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \). Точки пересечения: \( (2; 0) \) и \( (4; 0) \).
7. Найдем точку пересечения с осью ординат: при \( x=0 \), \( y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8 \). Точка пересечения: \( (0; 8) \).
8. Построим график, используя найденные точки.

Промежутки возрастания и убывания функции:

• Функция возрастает на промежутке \( [3; +\infty) \) (правая ветвь параболы).
• Функция убывает на промежутке \( (-\infty; 3] \) (левая ветвь параболы).

Ответ: График — парабола с вершиной в точке \( (3; -1) \), пересекающая ось x в точках \( (2; 0) \) и \( (4; 0) \). Возрастает на \( [3; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; 3] \).