3) Решите уравнение: (0,2)ˣ = ⁵√½.

Решение:

1. Переведём десятичную дробь в обыкновенную: \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).
2. Представим правую часть в виде степени: \( \sqrt[5]{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{5}} \).
3. Теперь уравнение выглядит так: \( (\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{5}} \).
4. Запишем \( \frac{1}{5} \) как \( 5^{-1} \) и \( \frac{1}{2} \) как \( 2^{-1} \): \( (5^{-1})^x = (2^{-1})^{\frac{1}{5}} \).
5. Упростим степени: \( 5^{-x} = 2^{-\frac{1}{5}} \).
6. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: \( -x · \log 5 = -\frac{1}{5} · \log 2 \).
7. Выразим \( x \): \( x = \frac{\log 2}{5 · \log 5} \).

Ответ: x = \( \frac{\log 2}{5 · \log 5} \).