3. Центральный ∠ АОВ опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение:

В треугольнике \( \triangle OAB \) \( OA = OB \) (радиусы окружности), значит, \( \triangle OAB \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA = 60^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Так как все углы в \( \triangle OAB \) равны \( 60^{\circ} \), то \( \triangle OAB \) — равносторонний.

Следовательно, \( OA = OB = AB \).

Длина хорды \( AB = 6 \).

Радиус окружности \( R = OA = 6 \).

Ответ: 6.