5. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°.

Решение:

Центральный угол \( \angle KOM \) опирается на дугу \( KM \).

Полная окружность составляет \( 360^{\circ} \).

Дуга \( KM \) состоит из полной окружности минус дуги \( KN \) и \( NM \).

Градусная мера дуги \( KN = 180^{\circ} \) (это полуокружность, так как \( KN \) — диаметр).

Градусная мера дуги \( NM = 124^{\circ} \).

Градусная мера дуги \( KM = 360^{\circ} - \text{мера дуги } KN - \text{мера дуги } NM \) — это неверно, так как точки K, N, M расположены последовательно.

Сначала определим дугу \( KM \). Дуга \( KMN \) — это \( 180^{\circ} \) (полуокружность). Дуга \( KN = 180^{\circ} \). Дуга \( MN = 124^{\circ} \).

Точка \( N \) находится на дуге \( KM \) или \( M \) находится на дуге \( KN \) или \( K \) на дуге \( MN \). Судя по рисунку, \( KN \) — диаметр.

Градусная мера дуги \( KMN = 180^{\circ} \).

Градусная мера дуги \( KM = \text{мера дуги } KMN - \text{мера дуги } MN \) — это возможно, если \( N \) лежит на дуге \( KM \).

Но если \( KN \) — диаметр, то дуга \( KMN = 180^{\circ} \) и дуга \( KMN \) — это большая дуга. И Дуга \( KMN \) = Дуга \( KM \) + Дуга \( MN \).

\( 180^{\circ} = \text{мера дуги } KM + 124^{\circ} \)

\( \text{мера дуги } KM = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle KOM \) равен градусной мере дуги \( KM \).

\( \angle KOM = 56^{\circ} \).

Ответ: 56°.