3. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АB, ∠ACD = 154°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим длину стороны AB как \( a \). По условию, диагональ AC = \( 2a \).
2. Шаг 2: В параллелограмме ABCD, AB = CD = \( a \), BC = AD.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ACD. Стороны: AC = \( 2a \), CD = \( a \), AD. Угол ∠ACD = 154°.
4. Шаг 4: По теореме косинусов для треугольника ACD: \( AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 · AC · CD · \cos(∠ACD) \).
5. Шаг 5: \( AD^2 = (2a)^2 + a^2 - 2 · 2a · a · \cos(154°) \).
6. Шаг 6: \( AD^2 = 4a^2 + a^2 - 4a^2 · \cos(154°) \). \( AD^2 = 5a^2 - 4a^2 · \cos(154°) \).
7. Шаг 7: В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: \( AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2) \).
8. Шаг 8: \( (2a)^2 + BD^2 = 2(a^2 + AD^2) \) \( 4a^2 + BD^2 = 2a^2 + 2AD^2 \).
9. Шаг 9: Подставляем \( AD^2 \) из шага 6: \( 4a^2 + BD^2 = 2a^2 + 2(5a^2 - 4a^2 · \cos(154°)) \).
10. Шаг 10: \( 4a^2 + BD^2 = 2a^2 + 10a^2 - 8a^2 · \cos(154°) \). \( BD^2 = 8a^2 - 8a^2 · \cos(154°) = 8a^2(1 - \cos(154°)) \).
11. Шаг 11: Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда AO = OC = \( a \), BO = OD = \( \frac{BD}{2} \).
12. Шаг 12: Рассмотрим треугольник COD. Стороны: CD = \( a \), OC = \( a \), OD = \( \frac{BD}{2} \). Угол ∠COD — искомый угол.
13. Шаг 13: По теореме косинусов для треугольника COD: \( CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 · OC · OD · \cos(∠COD) \).
14. Шаг 14: \( a^2 = a^2 + (\frac{BD}{2})^2 - 2 · a · \frac{BD}{2} · \cos(∠COD) \).
15. Шаг 15: \( a^2 = a^2 + \frac{BD^2}{4} - a · BD · \cos(∠COD) \).
16. Шаг 16: \( 0 = \frac{BD^2}{4} - a · BD · \cos(∠COD) \).
17. Шаг 17: \( a · BD · \cos(∠COD) = \frac{BD^2}{4} \). \( \cos(∠COD) = \frac{BD^2}{4a · BD} = \frac{BD}{4a} \).
18. Шаг 18: Подставляем \( BD^2 \) из шага 10: \( BD = \sqrt{8a^2(1 - \cos(154°))} = 2a√{2(1 - \cos(154°))} \).
19. Шаг 19: \( \cos(∠COD) = \frac{2a√{2(1 - \cos(154°))}}{4a} = \frac{√{2(1 - \cos(154°))}}{2} \).
20. Шаг 20: \( \cos(154°) \approx -0,839 \).
21. Шаг 21: \( \cos(∠COD) \approx \frac{√{2(1 - (-0,839))}}{2} = \frac{√{2(1,839)}}{2} = \frac{√{3,678}}{2} \approx \frac{1,918}{2} \approx 0,959 \).
22. Шаг 22: \( ∠COD = \arccos(0,959) \approx 16.5° \).

Ответ: 16.5