5. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 78°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим точку пересечения касательных как P. По условию, \( \angle APB = 78° \).
2. Шаг 2: Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным в точках касания A и B соответственно. То есть \( \angle OAP = 90° \) и \( \angle OBP = 90° \).
3. Шаг 3: Рассмотрим четырехугольник OAPB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
4. Шаг 4: \( \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360° \).
5. Шаг 5: Подставляем известные значения: \( \angle AOB + 90° + 78° + 90° = 360° \).
6. Шаг 6: \( \angle AOB + 258° = 360° \).
7. Шаг 7: \( \angle AOB = 360° - 258° = 102° \).
8. Шаг 8: Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы окружности), следовательно, треугольник AOB - равнобедренный.
9. Шаг 9: Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).
10. Шаг 10: Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°. \( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180° \).
11. Шаг 11: Подставляем значение \( \angle AOB \): \( 102° + \angle OAB + \angle OBA = 180° \).
12. Шаг 12: \( \angle OAB + \angle OBA = 180° - 102° = 78° \).
13. Шаг 13: Так как \( \angle OAB = \angle OBA \), то \( 2 \cdot \angle OBA = 78° \).
14. Шаг 14: \( \angle OBA = \frac{78°}{2} = 39° \).

Ответ: 39