3. В прямоугольном треугольнике длина биссектрисы прямого угла равна половине гипотенузы. Найдите величину острого угла А данного треугольника. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Пусть \( \angle C = 90^{\circ} \). Биссектриса \( CD \) делит прямой угол \( \angle C \) на два угла по \( 45^{\circ} \).

По условию, \( CD = \frac{1}{2} AB \). В прямоугольном треугольнике \( ABC \), биссектриса \( CD \) также является медианой к гипотенузе. Это значит, что \( CD = AD = BD = \frac{1}{2} AB \).

Рассмотрим треугольник \( ADC \). \( CD = AD \), значит, \( \triangle ADC \) — равнобедренный.

Углы при основании \( AD \) равны: \( \angle ACD = \angle A \).

Так как \( \angle ACD = 45^{\circ} \), то \( \angle A = 45^{\circ} \).

Ответ: 45 градусов.