3. В ромбе угол между диагональю и стороной равен 30°. Периметр ромба равен 48 см. Найдите большую диагональ ромба.

Сторона ромба равна \(48:4=12\) см. Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, поэтому острый угол ромба равен \(2\cdot30°=60°\).

В треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и большей диагональю, стороны равны 12 см, а угол между ними — 60°. По теореме косинусов:

\(d^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cos60°=144\), значит, \(d=12\) см.

Это длина меньшей диагонали. Большая диагональ лежит напротив угла 120°: \(D^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cos120°=432\), поэтому \(D=12\sqrt3\) см.

Ответ: \(12\sqrt3\) см.