8. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AM = 4 см. Найдите длину диагонали ромба BD, если точка M лежит на стороне AD.

Треугольник ABM прямоугольный, так как BM — высота к AD. Его угол B равен 30°, поэтому \(\angle A=60°\). Сторона ромба \(AB=AM/\cos60°=4/(1/2)=8\) см.

Диагональ BD лежит напротив угла 60° в треугольнике ABD, где \(AB=AD=8\). По теореме косинусов: \(BD^2=8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cos60°=64\), значит, \(BD=8\) см.

Ответ: 8 см.