3. В треугольнике ABC BM — медиана, а BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как BM — медиана, \(AM=MC=216:2=108\).

На основании рисунка точки расположены в порядке A, M, H, C. Поэтому \(MH=MC-HC=108-54=54\), то есть \(MH=HC\).

В прямоугольном треугольнике BHC угол при C равен \(40^\circ\). Следовательно, \(\tan 40^\circ=BH/HC\). В прямоугольном треугольнике BHM получаем \(\tan\angle BMH=BH/MH\). Поскольку \(MH=HC\), эти тангенсы равны, а оба угла острые, значит, \(\angle BMH=40^\circ\).

Луч MA противоположен лучу MH, поэтому \(\angle AMB=180^\circ-40^\circ=140^\circ\).

Ответ: 140°.