3. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Решение:

В треугольнике ABC BM — медиана, значит, M — середина стороны AC. Так как \( AC = 84 \), то \( AM = MC = 84 / 2 = 42 \).

BH — высота, значит, \( \angle BHA = \angle BHC = 90° \).

По условию, \( BC = BM \). Это означает, что треугольник BCM — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике BCM, BH является высотой к основанию BC. Однако, BH является высотой к AC, а не к BC. BM — медиана. В равнобедренном треугольнике BCM, медиана, проведённая из вершины B к основанию MC, не обязательно совпадает с высотой BH.

Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный.

В треугольнике BCM, так как \( BC = BM \), то углы при основании CM равны: \( \angle BCM = \angle BMC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол \( \angle BCH = \angle BCM \).

Рассмотрим треугольник BMA. Он прямоугольный, если \( \angle BMA = 90° \), но это не так.

В равнобедренном треугольнике BCM, так как \( BC = BM \), то медиана BK, проведённая к основанию CM, также будет высотой и биссектрисой. Но у нас BH — высота, а BM — медиана.

Рассмотрим треугольник BCM. \( BC = BM \). \( MC = 42 \).

Проведём высоту BH из B к AC. В прямоугольном треугольнике BHC, \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).

В прямоугольном треугольнике BHA, \( AB^2 = BH^2 + AH^2 \).

Так как \( BC = BM \), то точка M лежит на окружности с центром B и радиусом BC. Точка C также лежит на этой окружности.

В равнобедренном треугольнике BCM (так как \( BC = BM \)), углы при основании CM равны: \( \angle BCM = \angle BMC \).

Из того, что BH — высота, \( \angle BHC = 90° \).

Из того, что BM — медиана, \( MC = AM = 42 \).

В прямоугольном треугольнике BHC, \( HC = MC - MH = 42 - MH \) или \( HC = MH - MC \) или \( HC = MH + MC \).

Рассмотрим треугольник BCM. \( BC = BM \). \( MC = 42 \).

Пусть \( \angle BCM = \alpha \). Тогда \( \angle BMC = \alpha \).

В прямоугольном треугольнике BHC, \( HC = BC \cos \alpha \).

В треугольнике BHM, \( MH = BM \cos(\angle BMC) = BM \cos \alpha \).

Так как \( BC = BM \), то \( HC = MH \).

Мы знаем, что \( MC = MH + HC \) (если H лежит между M и C) или \( MC = |MH - HC| \).

Поскольку \( HC = MH \), и \( MC = 42 \), то \( MH = HC = 42 / 2 = 21 \).

Тогда \( AH = AM + MH = 42 + 21 = 63 \) (если H лежит между A и M).

Другой вариант: если H лежит между M и C, то \( MC = MH + HC = 42 \). Так как \( MH = HC \), то \( MH = HC = 21 \).

\( AH = AM + MH = 42 + 21 = 63 \).

Если M лежит между A и H, и C лежит между M и H, тогда \( AH = AM + MH \) и \( HC = HM - MC \) или \( HC = MC - HM \).

Из \( BC = BM \) следует, что \( \triangle BCM \) равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана BH к основанию AC не обязательно является высотой к BC. Но BM — медиана, а BH — высота.

Рассмотрим равнобедренный \(\triangle BCM\) с \(BC = BM\). Высота BH к стороне AC. \(MC = 42\).

В \(\triangle BCM\), \(BC = BM\). \(MC = 42\).

Пусть \(\angle BCM = \alpha\). В \(\triangle BHC\) (прямоугольном) \(HC = BC \cos \alpha\).

В \(\triangle BHM\) (прямоугольном, если BH перпендикулярна AC) \(MH = BM \cos \angle BMC\). Но \(\angle BMC = \angle BCM = \alpha\).

Значит, \(MH = BM \cos \alpha\).

Так как \(BC = BM\), то \(HC = MH\).

\(MC = MH + HC = 42\).

Так как \(MH = HC\), то \(MH = HC = 42 / 2 = 21\).

\(AH = AM + MH = 42 + 21 = 63\).

Ответ: 63