3. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CMN равна 76. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

Пошаговое решение:

• Так как M и N - середины сторон BC и AC соответственно, то MN является средней линией треугольника ABC.
• Средняя линия MN параллельна стороне AB и равна ее половине: \( MN = \frac{1}{2} AB \).
• Треугольник CMN подобен треугольнику CBA по двум сторонам и углу между ними (угол C общий, \( \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CA} = \frac{1}{2} \)).
• Коэффициент подобия \( k = \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CA} = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2} \).
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{CMN}}{S_{CBA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \).
• Площадь треугольника ABC равна: \( S_{CBA} = 4 \cdot S_{CMN} = 4 \cdot 76 = 304 \).
• Площадь четырехугольника ABMN равна разности площадей треугольника ABC и треугольника CMN: \( S_{ABMN} = S_{CBA} - S_{CMN} = 304 - 76 = 228 \).

Ответ: 228